ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЛИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ВЫРОЖДЕННЫХ СЛУЧАЯХ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Кудряшова Наталья Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math.kudryashova@yandex.ru
Шалдаева Анастасия Александровна, магистрант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: nastyashaldaeva@mail.ru 

519.64 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-2-5 

Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, и построению приближенных методов решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Одними из исключений являются сингулярные и полисингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений и для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Для полисингулярных интегральных уравнений подобная теория еще не построена. Более того, конкретные алгоритмы и приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными полисингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве функций, суммируемых в квадрате, вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений. Не менее актуальной является задача построения приближенных методов решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений.
Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы.
Результаты. Построены классы функций, на которых решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка задачи решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения, вырожденных полисингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций.
Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные многомерные сингулярные интегральные уравнения. 

Ключевые слова

полисингулярные интегральные уравнения, вырожденный символ, единственность, проекционно-итерационный метод 

 Скачать статью в формате PDF

1. Симоненко, И. Б. Характеристические бисингулярные уравнения в пространствах суммируемых функций / И. Б. Симоненко // Известия вузов. Математика. – 1974. – № 2. – С. 115–120.
2. Пилиди, В. С. Обоснование метода вырезания особенности для бисингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами / В. С. Пилиди // Известия вузов. Математика. – 1990. – № 7. – С. 51–60.
3. Козак, А. В. О проекционных методах решения двумерных сингулярных уравнений на торе / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Функциональный анализ и его приложение. – 1978. – Т. 12, № 1. – С. 74–75.
4. Какичев, В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных / В. А. Какичев. – Тюмень : Тюменский гос. университет, 1973. – 124 с.
5. Какичев, В. А. Краевая задача типа задачи Гильберта для пары функций, аналитических в биообластях / В. А. Какичев // Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т. 22, № 2. – С. 356–360.
6. Какичев, В. А. О задаче Римана для p-конуса в алгебрах Владимирова / В. А. Какичев, В. М. Шелкович // Математические заметки. – 1980. – Т. 27, № 6. – С. 899–911.
7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
8. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – Москва : Наука, 1963. – 640 c.
9. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Успехи математических наук. – 1979. – Т. 34, № 4. – С.143.
10. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Сибирский математический журнал. – 1980. – Т. 21, № 3. – С. 225–228.
11. Бойков, И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
12. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – Москва : Наука, 1970.
13. Лозинский, С. М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. I / С. М. Лозинский // Известия вузов. Математика. – 1958. – № 5. – С. 52–90.
14. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений / И. В. Бойков // Доклады Академии наук СССР. – 1990. – Т. 314, № 6. – С. 1298–1300.
15. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2008.
16. Бойков, И. В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях : межвуз. сб. науч. тр. – Вып. 6. – Пенза : Изд-во Пенз. политех. ин-та, 1984. – С. 3–11.
17. Бойков, И. В. К вопросу о единственности решений вырожденных сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ю. Кудряшова, А. А. Шалдаева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математи-
ческие науки. – 2020. – № 1 (53). – С. 3–21. – DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-1.
18. Gregor, J. O aproximaci obrazu v Hilbertove transfomaci ortogonalnimi radami racionalnich lomenych funkci / Jrzi Gregor // Aplik. Matem. Ceskoslovenska Arademie VED. – 1961. – Vol. 6, № 3. – Р. 214–240.